Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz podaj jej zbiór wartości.

Zapisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej oraz podaj jej zbiór wartości.

Postać ogólna funkcji kwadratowej

$\huge\boxed{f(x)=ax^2+bx+c}$

gdzie a ≠0.

Wyróżnik funkcji kwadratowej Δ

$\huge\boxed{\Delta=b^2-4ac}$

Współrzędne wierzchołka paraboli

$\huge\boxed{\begin{array}{c|c}p=\frac{-b}{2a}&q=\frac{-\Delta}{4a}\end{array}}$

Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

$\huge\boxed{f(x)=a(x-p)^2+q}$

gdzie p, q to współrzędne wierzchołka paraboli.

Kroki rozwiązania zadania:

Wypisanie współczynników liczbowych funkcji kwadratowej.

Obliczenie wyróżnika funkcji kwadratowej Δ.

Obliczenie współrzędnych wierzchołka paraboli.

Podstawienie współrzędnych wierzchołka oraz współczynnika a pod postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej.

Rozwiązanie:

a)

$f(x)=x^2-4x+1\\a=1, b=-4, c=1\\\Delta=(-4)^2-4*1*1=16-4=12\\p=\frac{-(-4)}{2*1}=\frac42=2\\q=\frac{-12}{4*1}=\frac{-12}4=-3\\\boxed{\boxed{f(x)=(x-2)^2-3}}$

b)

$f(x)=x^2+2x-3\\a=1, b=2, c=-3\\\Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16\\p=\frac{-2}{2*1}=-\frac22=-1\\q=\frac{-16}{4*1}=-\frac{16}4=-4\\\boxed{\boxed{f(x)=(x+1)^2-4}}$

c)

$f(x)=-x^2-6x-6\\a=-1, b=-6, c=-6\\\Delta=(-6)^2-4*(-1)*(-6)=36+24=60\\p=\frac{-(-6)}{2*(-1)}=\frac{6}{-2}=-3\\q=\frac{-60}{4*(-1)}=\frac{-60}{-4}=15\\\boxed{\boxed{f(x)=-(x+3)^2+15}}$

d)

$f(x)=-\frac12x^2+2x+2\\a=-\frac12, b=2, c=2\\\Delta=2^2-4*(-\frac12)*2=4+4=8\\p=\frac{-2}{2*(-\frac12)}=\frac{-2}{-1}=2\\q=\frac{-8}{4*(-\frac12)}=\frac{-8}{-2}=4\\\boxed{\boxed{f(x)=-\frac12(x-2)^2+4}}$

e)

$f(x)=\frac34x^2-3x\\a=\frac34, b=-3, c=0\\\Delta=(-3)^2-4*\frac34*0=9-0=9\\p=\frac{-(-3)}{2*\frac34}=\frac{3}{\frac32}=3:\frac32=3*\frac23=2\\q=\frac{-9}{4*\frac34}=\frac{-9}{3}=-3\\\boxed{\boxed{f(x)=\frac34(x-2)^2-3}}$

f)

$f(x)=-\frac12x^2+x\\a=-\frac12, b=1, c=0\\\Delta=1^2-4*(-\frac12)*0=1-0=1\\p=\frac{-1}{2*(-\frac12)}=\frac{-1}{-1}=1\\q=\frac{-1}{4*(-\frac12)}=\frac{-1}{-2}=\frac12\\\boxed{\boxed{f(x)=-\frac12(x-1)^2+\frac12}}$